Интегральный признак Коши Интегрирование по частям

Математика вычислить интеграл методы интегрирования

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример Вычислить интеграл . Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1). Двойные интегралы в произвольной области

Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

Пример Проинтегрировать .

Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Получаем

  Пример.

 

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого =

=

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

 

Двойные интегралы в полярных координатах
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.