Интегральный признак Коши Интегрирование по частям

Математика вычислить интеграл примеры решений

Замена переменных под знаком двойного интеграла. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода

Несобственные интегралы

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов: По определению несобственного интеграла получаем Исследуем первый интеграл.

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ? Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение. Запишем интеграл в виде следующей суммы: Используя определение несобственного интеграла, получаем

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

  Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

 

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно sinx.

 

  По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

Двойные интегралы в полярных координатах
Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства; вычисление. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения криволинейных интегралов.