Интегральный признак Коши Интегрирование по частям

Математика вычислить интеграл примеры решений

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры (в декартовых координатах) и (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.

Решение. Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле Вычислим криволинейные интегралы Следовательно, объем тела равен

Пример Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10).

Рис.10 
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

Двойные интегралы в полярных координатах
Интегральное исчисление функций многих переменных. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам.