| ||
Двойные интегралы в полярных координатахГеометрические приложения криволинейных интегралов
Пример Вычислить длину параболы
в интервале
.
Решение. Применяя формулу
находим, что
Для вычисления полученного интеграла сделаем замену
. Следовательно,
. При x = 0 получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна
Сделаем еще одну замену. Положим
. Если t = 0, то z = 0. Если
, то
В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение
В результате длина кривой равна
Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.
Следовательно,
Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты
Таким образом,
![]()
Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление
Пусть требуется посчитать
по области
, которая задается в полярных координатах условиями
.
Сделаем замену переменных
.
При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке
соответствует целый отрезок
на оси
. Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить
.
,
.
.
Следовательно,
.
Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.