Интегральный признак Коши Интегрирование по частям

Математика вычислить интеграл примеры решений

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры (в декартовых координатах) и (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить длину параболы в интервале .

Решение. Применяя формулу находим, что Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение В результате длина кривой равна Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей. Следовательно, Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты Таким образом,

Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.

Двойные интегралы в полярных координатах
Интегральное исчисление функций многих переменных. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам.