Геометрические приложения криволинейных интегралов
Пример Вычислить длину параболы
в интервале 
.
Решение. Применяя формулу 
находим,
что 
Для вычисления полученного интеграла
сделаем замену 
. Следовательно,
. При x = 0
получаем t = arctg 0 = 0, а при x = 1
− соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы
равна 
Сделаем еще одну замену. Положим
. Если t = 0,
то z = 0. Если 
,
то 
В приведенном выше выражении мы использовали
тригонометрическое соотношение 
В результате
длина кривой равна 
Разложим подынтегральное
выражение на сумму элементарных рациональных дробей. 
Следовательно, 
Решая данную систему уравнений,
находим коэффициенты 
Таким образом, 
Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление
Пусть
требуется посчитать 
по
области 
,
которая задается в полярных координатах условиями
.
Сделаем
замену переменных 
.
При
этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке 
соответствует
целый отрезок 
на
оси 
. Однако
точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить 
.
, 
.
.
Следовательно,
.
Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.