Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика вычислить интеграл примеры решений

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b.

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R. Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1 Рис.2
Объем тела Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен Площадь поверхности Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R. Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Вычисление интегралов изменить порядок интегрирования Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Геометрические приложения двойных интегралов
Закон Ампера Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C