Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении площадей

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно нача-ла координат будет равен

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Решение. Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный: Вычислим сначала внутренний интеграл. Теперь найдем внешний интеграл.
Рис.1Рис.2

Интегрирование рациональных дробей.

 

Математический аппарат квантовой механики

Т.к.  (, то

Практикум по решению математических задач Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл: ,  Где область 

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

 

 

 

 

  

 

Итого:

Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).

Геометрические приложения двойных интегралов
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ? (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода