Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении площадей

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке на-зывается предел отношения массы площадки к ее площади при усло-вии, что площадка стягивается к данной точке.

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Вычисление длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
Рис.3 Рис.4

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Геометрические приложения двойных интегралов
Моменты инерции пластинки. Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.