Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении площадей

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат

Производная сложной функции

Пример Продифференцировать .

Решение. Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du

Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования.

Пример Вычислить .

Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен .

Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен (разложение по 3-й строке) (выделим общие множители у столбцов) .

 

Геометрические приложения двойных интегралов
Масса плоской пластинки переменной плотности. Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько ма-лой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь