Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают грани-цы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указы-вают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Замена переменной в определенном интеграле

Пример Вычислить площадь эллипса .

Решение. В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и . Если x = a, то sin t = 1, . Таким образом, мы получаем Следовательно, полная площадь эллипса равна πab.

Найти предел .

 

;

;

 

  Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Геометрические приложения двойных интегралов
Формулы показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных опреде-ленных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную