Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают грани-цы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указы-вают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Замена переменной в определенном интеграле

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в виде Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет Следовательно, интеграл равен

Пример Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение. Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3). Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
Рис.3 Рис.4

Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

 

1.     

 

2.

3.

Геометрические приложения двойных интегралов
Формулы показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных опреде-ленных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную