Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пере-секается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия:
  1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
  2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
  3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана. Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты.

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Соленоидальное поле. Векторная трубка в соленоидальном поле

Определение.- соленоидальное поле, если .

Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .

Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак, . На по определению векторной линии , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Геометрические приложения двойных интегралов
Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.