Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пере-секается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Решение. Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6 Рис.7

Сделаем следующую замену переменных: Цель этой замены − упростить область интегрирования R. Найдем образ S области R в новых координатах u, v. Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан. так что Теперь можно вычислить двойной интеграл.

  Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Геометрические приложения двойных интегралов
Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.