Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пере-секается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 1. Для упрощения интеграла выполним замену переменных. Полагая , получаем Следовательно, образ S области R имеет вид прямоугольника, как показано на рисунке 2.
Рис.1 Рис.2
Определим якобиан данного преобразования. Тогда Следовательно, дифференциал преобразуется следующим образом: В новых переменных интеграл вычисляется намного легче:

Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0

  Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Геометрические приложения двойных интегралов
Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.