Замена переменных в двойных интегралах и тройных интегралах

Математика интегралы при вычислении обьема

Интегрирование рациональных функций. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2).

Решение.

Рис.1

Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ): Находим объем конуса:

Интеграл вида функция R четная относительно sinx и cosx.

 

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

Пример Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:

Вычислить объем эллипсоида

Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью .

Геометрические приложения двойных интегралов
Объём цилиндрического тела. Примеры вычисления двойных интегралов. Приложения двойных интегралов к задачам механики. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интегрирования.