Физика Кинематика Динамика Принцип реактивного движения Кинетическая и потенциальная энергии Явление интерференции Момент импульса Момент инерции Вынужденные колебания и резонанс Затухающие колебания

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела.

Найдем работу при вращательном движении твердого тела. Пусть ось вращения проходит через точку О, находящуюся на расстоянии r от точки приложения силы С, а >a ‑ угол между векторами  и (рис.3.5). При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения силы проходит путь dS=rdj. Работа силы равна произведению проекции силы вдоль смещения Fsin(a) на величину этого смещения r dj. Но F×r×sin(a ) = M - момент силы. Таким образом: работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна произведению момента действующей силы на угол поворота dA = Mdj.

Подпись:   Рис.3.5. Вычисление работы при вращательном движении твердого тела.

  Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с массами m1, m2,...,mn, находящихся на расстояниях r1, r2,...,rn от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, угловые скорости всех его точек одинаковы 

.

Линейные скорости точек будут разные >,  и т.д. Кинетическая энергия вращающегося тела Ек.вр равна

;

.

Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии. dA=dЕк.вр, следовательно работу можно представить как разность кинетических энергий конечного и начального положений

Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует в двух движениях : поступательном и вращательном, его кинетическая энергия

.

Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Воспользуемся соотношением, приведенным выше dA=dEвр, т.е.

Поделим обе части равенства на dt:

и так как , а , то  или 

В векторном вид > или  представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение, приобретаемое телом при вращении его вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально вращающему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно с уравнением II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что при вращательном движении роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение, роль силы - момент силы.

Ранее получено, что >. Возьмем первую производную по времени от этого равенства

.

Это выражение есть вторая (более общая) форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела: Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех внешних сил, >(оно сходно с законом динамики поступательного движения: ).

Если на тело не действуют внешние силы или система тел замкнутая, то момент сил > и , откуда и получаем закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным во времени. Аналогом его в поступательном движении является >закон сохранения импульса замкнутой системы тел. Закон сохранения момента импульса справедлив и для тел, размеры, форма и момент инерции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку величина , то при увеличении момента инерции J, угловая скорость w уменьшается и наоборот. К примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы увеличить угловую скорость своего вращения, группируется, т.е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент инерции уменьшается.

Колебательными называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Виды колебаний: Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в колебательной системе, в отсутствии внешних воздействий. Эти колебания возникают в следствии какого-либо начального наклонения колебательной системы от положения равновесия. Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Физика курс лекций