Физика Кинематика Динамика Принцип реактивного движения Кинетическая и потенциальная энергии Явление интерференции Момент импульса Момент инерции Вынужденные колебания и резонанс Затухающие колебания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 113

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В СВЯЗАННЫХ СИСТЕМАХ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получение биений в сопряженных маятниках и представление их через нормальные моды колебаний связанной системы.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: установка ФПМ – 13

В реальных системах тело нередко совершает сложное движение, складывающиеся из нескольких колебаний. Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях будет представлять биение.

Биения – периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, возникающее при сложении двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Получим уравнение такого процесса.

Если амплитуда А обоих колебаний одинаковы, частота первого колебания ω, а второго >ω + ∆ω, то уравнения колебаний будут иметь вид

:

,

. (1)

Сложив эти выражения и применив формулу для суммы косинусов, получим

. (2)

Так как в случае биений ∆ω<<ω, то результирующее уравнение примет вид

. (3)


Такое уравнение описывает гармоническое колебание со средней частотой ω и амплитудой , меняющейся по некоторому периодическому закону (рис. 1а).

Проанализируем данную функцию.

По определению амплитуда всегда положительная величина, поэтому ее в формуле (3) следует рассчитывать по модулю, т.е. >.

Известно, что период изменения │сosφ│в два раза меньше периода функции сos φ. Соответственно, частота |сos φ| в больше частоты Таким образом, амплитуда (3) > меняется во времени не с частотой , а с частотой ∆ω (рис. 1б)

Отметим, что первый множитель в функции (3) периодически меняет знак, поэтому он определяет не только амплитуду, но и фазу колебания. Последнее видно из рис. 1а, где точки М1 М2, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки.

Характерную картину биений можно наблюдать в результате сложения колебаний с близкими частотами связанных системах. Примером такой системы являются два маятника, закрепленные на общей оси и связанные между собой помощью пружины (рис. 2а).


Система приходит в движение при отклонении одного из маятников от положения равновесия (рис. 2б). Колеблясь, 1 – й маятник выводит 2 и вызывает его биения. В момент, когда амплитуда результирующего колебания второго маятника достигает максимума, первого уменьшается до минимума. Затем го вызывают биения го, процесс периодически повторяется. Амплитуда отклонения такой системе по очереди изменяется нуля энергия перекачивается другой, обратно. Период биений Тб может быть определен как промежуток времени между двумя очередными максимальными отклонениями либо последовательными нулевыми отклонениями.

Ранее было показано (см. введение к настоящей работе, что биения в связанных системах могут быть представлены виде суперпозиции двух нормальных мод с собственными частотами >w1 – “синфазного” и w2 – “противофазного” колебаний. Причем частота колебаний маятников , частота биений Δω =ω1 – ω2 .

В данной работе предлагается экспериментально проверить справедливость этого утверждения.


ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Общий вид установки представлен на рис. 3. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, обеспечивающими выравнивание прибора. В основании закреплена колонка На колонке закреплены втулка 4 и кронштейн 5. стрежне втулки находятся три подвески, которых посредством шариковых подшипников навешены два маятника стержень 6. (этот при выполнении данной работы не используется). Маятник состоит из тонкого стержня 7 перемещаемого груза 8. Маятники сопряжены друг с другом помощи пружины 9, закрепленной в специальной С – образной обойме.

К нижнему кронштейну 5 прикреплены угловая шкала 10, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников, фотоэлектрический датчик 11, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания сопряженных маятников.

На лицевой панели блока управления и измерений находятся следующие манипуляционные элементы:

“СЕТЬ” – выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения.

“СБРОС” – сброс измерителя. Если вывести маятники из положения равновесия, то при первом нажатии этой клавиши одновременно начинают работать счетчики времени 12 и числа колебаний 13. При повторном показания счетчиков 12, 13 сбрасываются до нуля.

При нажатии клавиши “СТОП” процесс подсчета заканчивается и индикаторы 12, 13 высвечивают результат измерений.

Выключатель “ВКЛЮЧЕНИЕ ДВИГАТЕЛЯ” и потенциометр “ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ” при выполнении настоящей работы не используются.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Подготовить установку для измерений:

а) проверить, находятся ли стержни маятников в вертикальной плоскости. Если нет, пригласить преподавателя или лаборанта;

б) подключить прибор к сети напряжением в 220 В;

в) нажать клавишу “СЕТЬ”, при этом электронные табло времени 12 и числа колебаний 13 должны высвечивать цифру ноль.

Определить период биений и частоту колебаний маятников.

а) Отклонить ближайший к наблюдателю маятник (назовем его первым) от положения равновесия на угол ~ 10о и пустить его. Колебания первого маятника вызовут колебания второго. Уменьшение амплитуды колебаний 1 – го будет сопровождаться увеличением 2 го.

б) В момент, когда отклонение 1 – го маятника от положения равновесия будет наименьшим, нажать на клавишу “СБРОС” и начать отсчет периода биений числа колебаний 2 по индикаторам 12, 13. амплитуда маятника, пройдя через максимум, вновь уменьшится до минимального значения, “СТОП” Результаты измерения Тб N за данный промежуток времени занести в таблицу. Опыт повторить еще раза найти среднее значение формуле

.

Очевидно, число N в каждом опыте должно быть одинаковым.

в) Вычислить частоту биений >  по формуле

.

г) Вычислить частоту колебаний маятников по формуле

.

Слагаемое > в числители необходимо для учета изменения фазы колебания маятника на π при переходе амплитуды биений через нулевое значение.

Определить частоту ν1 “синфазной” моды колебаний:

а) для этого отклонить оба маятника от положения равновесия в одну сторону на угол >~5о и пустить их одновременно;

б) по прошествии нескольких колебаний (2 – 3) нажать на клавишу “СБРОС” и начать отсчет времени числа индикаторам 12, 13;

d) по прошествии N – 1 колебаний нажать на клавишу “СТОП”. На индикаторах 12 и 13 зафиксируются время t1 число “синфазных” маятников. Опыт повторить еще 2 раза среднему времени> вычислить частоту  по формуле .

Здесь, очевидно число N должно быть произвольным и одинаковым.

Определить частоту ν2 “противофазной” моды колебаний:

а) для этого отклонить маятники от положения равновесия в противоположные стороны на углы ~ 5о и пустить их одновременно;

б) определить, как было описано в пунктах 3 б и в, продолжительность > числа N ”противофазных” колебаний и вычислить  по формуле .

По частотам нормальных колебаний системы > и , полученным в пунктах 3 и 4, рассчитать частоту колебания маятников при биениях:

Полученный результат сравнить с его значением, полученным на опыте в пункте 2 г.

По нормальным частотам >  и  рассчитать частоту биений:

.

Результат сравнить с его значением, полученным на опыте в пункте 2 в. Сделать вывод о возможности представления биений через нормальные моды колебаний связанной системы.>

, с-1.

эксп.>

, с-1

эксп.>

, с-1

, с-1

Расч.>

Расч.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Записать функцию гармонического колебательного движения. Нарисовать график этой функции. Дать определение основным параметрам, характеризующим гармонические колебания.

Какие колебания называются биениями? Как их можно осуществить? Привести примеры.

Записать функцию колебательного процесса, сопровождающегося биениями. Нарисовать график этой функции.

Чему равны амплитуда, частота, период биений? Показать их на графике.

Рассказать о механизме возникновения биений в системе, состоящей из 2-х сопряженных маятников.

Какие колебания связанной системы называются нормальными модами?

Чему равна собственная нормальная частота “синфазной” моды двух сопряженных маятников?

Почему собственная нормальная частота “противофазной” моды больше частоты синфазной моды?

Как возбудить в системе сопряженных маятников колебания только одной нормальной моды?

Малые колебания вблизи положения равновесия. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначили через x. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии и т.п. Потенциальная энергия системы в этом случае будет функцией одной переменной
Физика курс лекций