Физика Кинематика Динамика Принцип реактивного движения Кинетическая и потенциальная энергии Явление интерференции Момент импульса Момент инерции Вынужденные колебания и резонанс Затухающие колебания

ВОЛНЫ

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления волны, а поперечных – перпендикулярно к направлению волны. Не во всякой возможно распространение поперечной Поперечная упругая волна возможна лишь таких средах, которых имеет место деформация сдвига. Например, газах жидкостях распространяются только упругие волны (звук).

Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны. Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, которой колебания еще не возникали. В зависимости формы фронта различают плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Уравнение плоской волны, распространяющейся без потерь в однородной среде, имеет вид

, (42)

где ξ(Х,t) – смещение частиц среды с координатой Х от положения равновесия в момент времени t, А амплитуда, > - фаза волны,  - круговая частота колебания частиц среды, v – скорость распространения волны.

Длиной волны λ называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2π, другими словами, длиной путь, проходимый любой фазой за один период колебаний:

  λ = vT, (43)

фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы:

λ / Т (44)

Волновое число – длин волн, укладывающихся на длине 2π единиц:

 k = ω / v = 2π / λ. (45)

Подставляя эти обозначения в (42), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить виде

(46)

Отметим, что уравнение волны (46) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на λ

изменении времени на Т (период). Поэтому изобразить графически волну плоскости нельзя. Часто фиксируют время t и графике представляют зависимость смещения ξ от координаты Х, т.е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис.11). Разность фаз Δφ колебаний точек зависит расстояния ΔХ =Х2 – Х1 между этими точками

 (47)

Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде:

  ξ (Х,t) = АСos(ωt + kX). (48)

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид:

ξ1 =АСos(ωt – kX)

 ξ2 = AСos(ωt + kX). (49)

Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2π / λ, получим уравнение стоячей волны

. (50)

Множитель Сos ωt показывает, что в точках среды возникает колебание той же частоты ω с амплитудой >, зависящей от координаты Х рассматриваемой точки. В точках среды, где

, (51)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями. Из выражения (51) можно найти координаты пучностей:

 (52)

В точках, где >, (53)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами. Координаты узлов

. (54)

Расстояния между соседними пучностями и соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между узлом и соседней пучностью равно λ / 4. При переходе через узел множитель  меняет знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

Распределение узлов и пучностей в стоячей волне зависит от условий, имеющих место на границе раздела двух сред, которой происходит отражение. Если отражение волны среды более плотной, то фаза колебаний месте отражения меняется противоположную или, как говорят, теряется половина волны. Поэтому, результате сложения противоположных направлений смещение равно нулю, т.е. имеет узел (рис. 12).> При отражении волны от границы менее плотной среды фаза  колебаний в месте отражения остается без изменения и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами – получается пучность.

В стоячей волне нет перемещения фаз, распространения волны, переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.

 (28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q. Добротностью называется величина, пропорциональная отношению полной Е(t) к (->Е), теряемой за период Т:

 (29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид

 (30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине >, можно написать

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид

. (32)

Здесь учтено, что при малых затуханиях (>l<<1): 1-е-2l ~ 2l.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q ~ 102, а атома, который тоже является колебательной системой, достигает 108.

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω0 период становится

бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай изображен на рис.5. Критическое (успокоение) за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах , например, баллистических гальванометрах.

Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.
Физика курс лекций