Физика Кинематика Динамика Принцип реактивного движения Кинетическая и потенциальная энергии Явление интерференции Момент импульса Момент инерции Вынужденные колебания и резонанс Затухающие колебания

Вынужденные колебания и резонанс

Если на тело с массой m действуют упругая сила Fу = -kX, трения >и внешняя периодическая сила , то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

, или, (33)

где>, - коэффициент затухания, - собственная частота свободных незатухающих колебаний тела, F0 – амплитуда, ω – частота периодической силы.

 В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех

пор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.

В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции его колебания будут сдвинуты по фазе отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

X = AСos(ωt + φ). (34)

В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза >j вынужденных колебаний

зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

, (35)

. (36)

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7 8).

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих тела ω0 носит название механического Амплитуда резонансной > достигает максимального значения:


   (37)

По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если ω→ 0, то все кривые также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению >, так называемому статистическому отклонению. Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (β2 ‹‹ω02) резонансная амплитуда (см.(37))

 (37а)

При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению.

,

из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является по сути коэффициентом усиления отклика >системы и при малом затухании может достигать больших значений.

Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, радиотехнике выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Источником внешней периодической силы может служить вторая колебательная система, упруго связанная с первой. Обе колебательные системы могут действовать одна на другую. Так, например, случай двух связанных маятников (рис. 9).

Система может совершать как синфазные (рис. 9б), так и противофазные 9с) колебания. Такие колебания называются нормальным типом или нормальной модой колебаний характеризуются своей собственной частотой. При синфазных колебаниях смещения маятников во все моменты времени Х1 = Х2, а частота ω1 точно такая же, отдельно взятого маятника >. Это объясняется тем, что легкая пружина находится в свободном состоянии и не оказывает никакого влияния на движение. При противофазных колебаниях во все моменты времени – Х1 = Х2. Частота таких колебаний больше и равна , так как пружина, обладающая жесткостью k и осуществляющая связь, все время находится то в растянутом, то в сжатом состоянии.


Любое состояние нашей связанной системы, в том числе и начальное смещение Х (рис. 9а), можно представить в виде суперпозиции двух нормальных мод:

 и .

Если привести систему в движение из начального состояния Х1 = 0, >, Х2 = 2А, ,

то смещения маятников будут описываться выражениями:

 ,

 (38)

 На рис. 10 представлено изменение смещения отдельных маятников во времени.

Частота колебаний маятников равна средней частоте двух нормальных мод

 (39)

а их амплитуда изменяется по закону синуса или конуса с меньшей частотой, равной половине разности частоты нормальных мод

. (40)

Медленное изменение амплитуды с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется “биениями” двух колебаний почти одинаковыми частотами. Частота “биений” равна ω1 –ω2 частот, (а не этой разности), поскольку максимум 2А достигается дважды за период, соответствующий частоте>

Отсюда период биений оказывается равным

 (41)

При биениях между маятниками происходит обмен энергией. Однако полный энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ω1+ω2 / ω1-ω2) равно целому числу. Необходимо отметить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, нормальными модами отсутствует.

Наличие таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию, составляют основу волнового движения.

Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.
Физика курс лекций