Физика Кинематика Динамика Принцип реактивного движения Кинетическая и потенциальная энергии Явление интерференции Момент импульса Момент инерции Вынужденные колебания и резонанс Затухающие колебания

Затухающие колебания

В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, увеличивают период, т.е. уменьшает частоту Такие колебания не будут гармоническими.

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими. При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения

, (20)

где r – коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид

 или  (21)

где > - коэффициент затухания, - собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий (>) является

. (22)

Оно отличается от чисто гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний

(23)

является убывающей функцией времени, а круговая частота > связана с собственной частотой  и коэффициентом затухания  соотношением

. (24)

Период затухающих колебаний равен

. (25)

Зависимость смещения Х от t затухающих колебаний представлена на рис.4.

Cтепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания . За время амплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72 раз. Это время  естественного затухания называют временем релаксации. Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации

 .(26)

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания >. Пусть А(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение

(27)

называется декрементом затухания, который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения

 (28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q. Добротностью называется величина, пропорциональная отношению полной Е(t) к (->Е), теряемой за период Т:

 (29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид

 (30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине >, можно написать

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид

. (32)

Здесь учтено, что при малых затуханиях (>l<<1): 1-е-2l ~ 2l.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q ~ 102, а атома, который тоже является колебательной системой, достигает 108.

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω0 период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай изображен на рис.5. Критическое (успокоение) за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах , например, баллистических гальванометрах.

Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.
Физика курс лекций