Кратные и криволинейные интегралы

Математика лекции примеры решения задач

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Пример. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x n -1 ½ < e .

Возьмем любое e >0. Так как ½ x n -1 ½ = ½ (n+1)/n - 1 ½ = 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что .

Пример. Найти предел последовательности, заданной общим членом  .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ® ¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

.

Пример. . Найти .

Решение.  .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Непрерывность функций.

Определение непрерывности функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

существует ;

этот предел равен значению функции в точке х0: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х0, а если она определена в этой точке, то значение f(х0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х0) существует, и это значение должно быть равно . Переведём опр.5.1.1 на язык e-d:

Основы теории графов. Дерево с корнем, ветви. Типы вершин и центры деревьев. Матричные методы представления графов. Матрицы смежности, инцидентности и список ребер. Оптимизационные задачи на графах. Структура смежности графа, метод поиска в глубину.
Понятие предела функции