Понятие производной

Математика лекции примеры решения задач

Погрешность измерения величин

Пример

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Доказательство

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y .

Тогда x  +  y  =  y 0  +  x 0 ± Δ x  ± Δ y  = ( y 0  +  x 0 ) ± (Δ x  + Δ y ).

( x  +  y ) – ( x 0  +  y 0 ) = ±(Δ x  + Δ y ), откуда

Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x  и  y скомпенсируют друг друга, и величина x  +  y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: Δ( x  –  y ) = Δ x  + Δ y .

Пример 

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Показать решение

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ∙ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F (см. формулу (1) из §1).)

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения  получается из формулы (10):

 . (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A(x) есть некоторая функция аргумента x. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

 ,

откуда следует, что A¢(x) = x2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Элементы теории множеств. Множества и операции над ними. Диаграммы Венна. Бинарные отношения и операции над ними. Рефлективность, симметричность, транзитивность. Соответствия. Функции и отображения. Операции. Гомоморфизм и изоморфизм.
Частные производные