Вычислить двойной интеграл

Математика интегралы лекции примеры решения задач

Геометрические приложения двойного интеграла

Пример. Вычислить двойной интеграл по области D, где D – треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(1,1) и В(0,2).

Решение. Построим область D и запишем уравнения линий, ограничивающих эту область (рис. 7).

Рис. 7

Уравнение ОА: ; отрезок ВА задается уравнением ; OB – .

.

Пример. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением .

Решение. Произведем замену переменных, полагая . Тогда уравнение кривой примет вид

, где .

Рис. 8

Тогда . С учетом того, что имеет период T = , .

С учетом симметрии фигуры вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре.

Вычислим площадь по формуле .

.

Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, .

 Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

 Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

 Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т¹0 такое, что для "xÎX: 1. x+ТÎX; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

  Периодическими являются тригонометрические функции. Нетривиальные примеры: периодична любая постоянная функция f(x) = С=const; периодична функция Дирихле, причем её периодом может служить любое рациональное число. Из определения следует, что если Т - период функции, то числа 2Т, 3Т, …. - тоже периоды. Наименьший отличный от нуля положительный период называется основным периодом. Функция Дирихле демонстрирует пример периодической функции, не имеющей основного периода.

Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Общее, параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Линии второго порядка. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства. Гипербола, ее каноническое уравнение и свойства.
Объем тела вращения