Вычислить двойной интеграл

Математика интегралы лекции примеры решения задач

Геометрические приложения определенного интеграла

Объем тела вращения.

Модель 3.12. Объем тела вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [ a ; b ] функцией f ( x ). Его объем выражается формулой

Рисунок 3.4.4.2.

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b , а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x , – непрерывная на отрезке [ a ; b ] функция σ( x ). Тогда его объем равен

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0; с учётом того, что у'(x) Dх = у'(x)dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с Dх, получим Dу @ dу. Так как Dу=у(x+Dх)- у(x), то формула для приближённого значения у(x+Dх) будет иметь вид у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. Исследование функции и построение графика Примеры:

Вычислить . В этом случае , функция и производная легко вычисляется в близкой точке х=32, у(х)=2, у'(х)=1/(5*24)=1/80, х1=30, Dх =30-32= -2, и

 @2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

Вычислить sin(0.5). y(x)=sinx, y'(x)=cosx, в качестве х примем x = p/6@0.524, х1=0.5,

Dх =0.5-0.524= -0.024, y(x)=0.5, y'(x)=@0.866, y(х1) @ 0.5 - 0.024*0.866@0.5-0.021=0.479 (более точное значение 0.47943).

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости (параметрическое, каноническое, в отрезках, общее, с угловым коэффициентом, нормальное).
Объем тела вращения