Понятие производной дифференциальное уравнение примеры

Вещественные числа
Формула Муавра
Понятие производной
Кратные и криволинейные интегралы
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
Предел последовательности
Предел сложной функции
Производная сложной функции
Многочлен Тейлора
Асимптоты функций
Использование правила Лопиталя
Два основных метода интегрирования
Интегрирование
Формула Ньютона-Лейбница
Примеры решения научно-технических задач
Интегрирование по частям
Предел функции
Определение двойного интеграла
Критерий интегрируемости
Интегрирование по прямоугольнику
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Сферические координаты
Формула Грина
Формула Стокса
Формула Остроградского Гаусса
Интеграл Пуассона
Тензоры
Изменить порядок интегрирования
Найти объем тела
Комбинаторика
Бином Ньютона
Метод математической индукции
Определители матриц
Обратная матрица
Базисный минор
Построить график функции
Информатика
Объектно-ориентированное программирование
Архитектура приложений баз данных
Программное обеспечение ПК
Примеры скриптов
Введение в систему команд Linux
Конфигурирование системы Linux
Периферийные устройства в Linux

Физический смысл производной

Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров.

Производные второго порядка Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Частные производные В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V .

Понятие дифференциального уравнения Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать: ma =– kv .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y ( x , C 1, C 2,…, C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n . Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона) не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату. Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности .

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Производные элементарных функций Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций. Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Числа и называются соответственно пределом справаи пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Пример. Найти  ( ). Найти . Найти 1) ; 2) ; 3) .

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны

Аналогично формулируется определение предела при x , стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функцию которая стремится на бесконечности к нулю:

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы :

Непрерывность функций Функция f  ( x ), определенная в точке a , называется непрерывной в этой точке, если

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что если функция непрерывна в точке x 0, то она определена в этой точке.

Асимптоты Прямая x  =  a называется вертикальной асимптотой графика функции f  ( x ) при x  →  a , если выполнено хотя бы одно из условий

Обратная функция Пусть задана функция y  =  f  ( x ), Тогда каждому числу соответствует единственное число Иногда приходится по значению функции y 0 находить значение аргумента x 0, то есть решать уравнение f ( x ) = y 0 относительно x . Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f ( x ) пересекается с прямой y = y 0 ).

Кусочно-линейная функция

Вектор. Основные свойства Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ ( товаров ). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте Ортонормированный базис. Если векторы e 1 , e 2 , e 3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x 1, x 2, x 3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k. Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Уравнения прямых и кривых на плоскости

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид: x cos a + y sin a - р = 0, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F 1 и F 2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными. Например, решим неравенство x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Показательные и логарифмические уравнения

Решите уравнение

Решите уравнение

Решите уравнение

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Решите уравнение

Решите уравнение

Операции над множествами

Рассмотрим некоторое множество E , которое будем называть основным , и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества. Пусть A = [−2; 1] и B = (0; 3). Найти и

Правила решения комбинаторных задач Пусть множество A состоит из p элементов, а множество B состоит из q элементов. Составим новое множество A  ×  B , состоящее из всех упорядоченных пар ( a ,  b ), где a     A и b     B .

Сколько решений в натуральных числах имеет система

Размещения

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук ( k  ≤  n ), тогда говорят, что произведена выборка объёма k . Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке , если порядок не важен, то о неупорядоченной . Сколько семизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Доказать, что

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения? В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x .

Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: D x  +  y  =  D x  +  D y .

Дискретные распределения вероятностей Пусть случайная величина принимает дискретные значения. К таким величинам, например, относятся количество очков при бросании кубика или количество угаданных номеров в лотерее «Спортлото». Вспомним, что закон распределения случайной величины образуют множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Законы распределения могут быть вычислены исходя из логики процесса или измерены, если у нас есть достаточно большая статистическая выборка. Но для некоторых часто встречающихся типов процессов можно не выводить распределение, а использовать стандартное похожее. Ролик кодового замка содержит N возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. С какой вероятностью его можно открыть точно с k -го раза? Сосуд с N молекулами идеального газа мысленно разделён на две части, V 1 и V 2. Найти вероятность того, что в объёме V 1 будет содержаться N 1, а в объёме V 2  будет содержаться  N 2 молекул. Пьяница случайным образом делает шаг вперёд или назад. Оцените, за какое количество шагов ему удастся добраться до дома, находящегося на расстоянии l от начала пути, при длине шага d ?

Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале ( a ;  b ), то такая случайная величина называется непрерывной .

Непрерывные распределения вероятностей

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x , а также среднее значение величины для постоянного распределения

Определите среднее значение скорости молекул газа, если закон распределения скоростей молекул задаётся формулой Максвелла

Полученные при непосредственном измерении величины неизбежно содержат ошибки, обусловленные самыми разными причинами. Среди этих ошибок следует различать систематические и случайные. Погрешность измерения величин В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

Линеаризация элементарных функций

Правило Лопиталя

Определенные интегралы в физике Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?

Несобственные интегралы Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Системы линейных уравнений общего вида В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика