Примеры решения научно-технических задач

Вещественные числа
Формула Муавра
Понятие производной
Кратные и криволинейные интегралы
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
Предел последовательности
Предел сложной функции
Производная сложной функции
Многочлен Тейлора
Асимптоты функций
Использование правила Лопиталя
Два основных метода интегрирования
Интегрирование
Формула Ньютона-Лейбница
Примеры решения научно-технических задач
Интегрирование по частям
Предел функции
Определение двойного интеграла
Критерий интегрируемости
Интегрирование по прямоугольнику
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Сферические координаты
Формула Грина
Формула Стокса
Формула Остроградского Гаусса
Интеграл Пуассона
Тензоры
Изменить порядок интегрирования
Найти объем тела
Комбинаторика
Бином Ньютона
Метод математической индукции
Определители матриц
Обратная матрица
Базисный минор
Построить график функции
Информатика
Объектно-ориентированное программирование
Архитектура приложений баз данных
Программное обеспечение ПК
Примеры скриптов
Введение в систему команд Linux
Конфигурирование системы Linux
Периферийные устройства в Linux

  • Выше при изложении данного учебного курса приводились многие сотни примеров применения системы Maple 7. При этом намеренно подбирались достаточно простые примеры, занимающие немного места и не требующие чрезмерных ухищрений для решения.
  • Задание исходной функции и построение ее графика Трудно представить себе область более широкую и читаемую, чем аппроксимация различных функциональных зависимостей. С получения простой аппроксимации сложной зависимости нередко начинаются (а часто и заканчиваются) научные исследования во многих областях как прикладной, так и фундаментальной науки
  • Аппроксимации рядом Тейлора Начнем с аппроксимации функции хорошо известным рядом Тейлора степени 8 относительно середины интервала
  • Паде-аппроксимация Теперь опробуем рациональную аппроксимацию Паде (Fade) функции f(x) степени (4,4). Приближения по этому разложению будут аппроксимировать функцию более точно, и потому ошибки округления в вычислениях станут более заметными. Поэтому зададим еще два дополнительных знака для точности вычислений.
  • Аппроксимация полиномами Чебышева Знатоки техники аппроксимации знают, что лучшие приближения на заданном интервале могут быть получены при использовании разложения в ряд Чебышева. Это связано с тем, что ортогональные полиномы Чебышева позволяют получить аппроксимацию, погрешность которой в заданном диапазоне изменения аргумента распределена более равномерно, чем в предшествующих случаях.
  • Аппроксимация Чебышева-Паде Теперь рассмотрим еще более точную рациональную аппроксимацию Чебышева-Паде. Это такая рациональная функция r[m, n](х) с числителем степени т и знаменателем степени п такой же, как и для разложения в ряд Чебышева. Функция r [m, n](х) согласуется с разложением в ряд Чебышева f(x) членом степени m+n.
  • Минимаксная аппроксимация Классический результат теории аппроксимации заключается в том, что минимакс как наилучшая аппроксимация рациональной функции степени (т, п) достигается, когда кривая ошибки имеет m+n+2 равных по величине колебаний.
  • Эффективная оценка рациональных функций Полиномы числителя и знаменателя в минимаксной аппроксимации уже выражены в форме Горнера (то есть в форме вложенного умножения).
  • Сравнение времен вычислений Теперь определим время, необходимое для вычисления функции/(л:) в 1000 точек, используя первоначальное интегральное определение, и сравним его с временем, требующимся для схемы MinimaxApprox в виде непрерывной дроби.
  • Преобразование в код Фортрана или С Один из поводов разработки эффективной аппроксимации для вычисления математической функции заключается в создании библиотек подпрограмм для популярных языков программирования высокого уровня, таких как Фортран или С.
  • Моделирование физических явлений Итак, пусть подвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 г брошены под углом 45° к горизонту со скоростью Vo = 20 м/с. Найдем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха Fтр=А*V, где А=0,1 Н*с/м. Сравним их с траекториями, получающимися без учета сопротивления воздуха.
  • Движение частицы в магнитном поле От реального мира перейдем к микромиру. Пусть микрочастица массой 9* 10-31 кг и зарядом +1,6*10"19 Кл влетает в магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл под углом а=80°. Рассчитаем траекторию движения частицы при начальной скорости Vo= 1*107м/с:
  • Разделение изотопов Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Для этого используют различные способы. В частности, это может быть масс-спектроскопический метод.
  • Моделирование рассеивания альфа-частиц Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа- частицами с высокой энергией.
  • Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем?. Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда. С одной стороны, к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Micro-CAP, Electronics Workbench, PSpice, Design Labs и др
  • Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе Рассмотрим классический усилительный каскад на полевом транзисторе, схема которого приведена
  • Расчет аналогового фильтра на операционном усилителе Теперь рассмотрим проектирование аналогового полосового фильтра на операционном усилителе
  • Проектирование цифрового фильтра Основной недостаток аналоговых активных фильтров, подобных описанному выше, заключается в их малом порядке. Его повышение за счет применения многих звеньев низкого порядка ведет к значительному повышению габаритов фильтров и их стоимости.
  • Моделирование цепи на туннельном диоде А теперь займемся моделированием явно нелинейной цепи. Выполним его для цепи, которая состоит из последовательно включенных источника напряжения Es, резистора Rs, индуктивности L и туннельного диода, имеющего N-образную вольтамперную характеристику (ВАХ). Туннельный диод обладает емкостью С, что имитируется конденсатором С, подключенным параллельно туннельному диоду.
  • Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов Вернемся к линейным цепям и рассмотрим еще один полезный метод расчета электрических цепей — с помощью интеграла Дюамеля. При нем можно рассчитать временную зависимость выходного напряжения u2(t) цепи по известному входному сигналу ul(t) и переходной характеристике цепи a(t)
  • Основные определения линейной алгебры Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple 7 по части решения задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.
  • Пакет решения задач линейной алгебры linatg Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде.
  • Интерактивный ввод матриц Для интерактивного ввода матриц можно, определив размерность некоторого массива, использовать функцию entermatrix
  • Основные функции для задания векторов и матриц В библиотечном файле Unalg имеются следующие функции для задания векторов и матриц
  • Функции для работы, с векторами и матрицами Для работы с векторами и матрицами Maple 7 имеет множество функций, входящих в пакет linalg. Ограничимся приведением краткого описания наиболее распространенных функций этой категории
  • Решение систем линейных уравнений. Ниже представлен простой пример составления и решения трех систем линейных уравнений с применением функций, входящих в пакет linalg
  • Пакет линейной алгебры с алгоритмами NAG LinearAlgebra В последние годы разработчики систем символьной математики осознали, что малая скорость выполнения векторных и матричных операций при решении задач линейной алгебры оборачивается потерей заметной части рынка систем компьютерной математики.
  • Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой.
  • Интеграция Maple 7 с MATLAB Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple 7, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее
  • Загрузка пакета расширения Matlab Как нетрудно заметить, данный пакет дает доступ всего к 18 функциям системы MATLAB  (из многих сотен, имеющихся только в ядре последней системы).
  • Типовые матричные операции пакета расширения Matlab Большинство функций пакета Matlab (не путайте с системой MATLAB, имя которой надо записывать прописными буквами) реализуют самые обычные матричные операции, что и иллюстрируют приведенные ниже примеры.
  • Выделение сигнала на фоне шумов Среди небольшого числа доступных функций системы MATLAB в пакете Matlab нельзя не выделить особо функции быстрого прямого и обратного преобразований Фурье.
  • Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем.
  • Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:
  • Функции решения линейных функциональных систем Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матриц  коэффициентов, системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной х и параметра case, имеющего значения 'differential', 'difference' или 'qdifference'.
  • Вспомогательные функции MatrixTriangularization(mat, m, n, x, It) — триангуляция матрицы mat размера mxn с указанием типа It ('lead' или 'trail');
  • Примеры применения пакета LinearFunctiftnalSystems Множество дополнительных примеров на анализ и решение линейных функциональных систем можно найти в справке по функциям данного пакета.

Обзор пакетов специального назначения

  • Пакет решения задач линейной оптимизации simplex Задачи линейной оптимизации важны как в фундаментальных, так и в прикладных приложениях математики. В пакете simplex имеется небольшой, но достаточно представительный набор функций и определений для решения таких задач
  • Функции maximize и minimize Главными из этих функций являются maximize и minimize, оптимизирующие задачу симплекс-методом. Они записываются в следующих формах:
  • Прочие функции пакета simplex. Функция basis(C) возвращает базис для системы линейных уравнений С
  • Пакет планиметрии geometry Пакет геометрических расчетов geometry в системе Maple 7 получил как бы второе рождение  число его функций по сравнению с версией этого пакета в системе Maple V R5 возросло в несколько раз.
  • Пример применения расчетных функций пакета geometry К сожалению, описание всех функций этого пакета потребует привести справочные данные практически по всей геометрии на плоскости, объем которых намного превышает объем данной книги.
  • Визуализация геометрических объектов с помощью пакета geometry Одно из важных достоинств пакета geometry - возможность наглядной визуализации различных геометрических понятий, например графической иллюстрации доказательства теорем или геометрических преобразований на плоскости.
  • Набор функций пакета geom3d Помимо существенного расширения пакета geometry в систему Maple 7 введен новый геометрический пакет geonfld. Он предназначен для решения задач в области трехмерной геометрии.
  • Пример применения пакета geom3d Напоминаем, что цель пакета не в построении рисунков геометрических фигур, а в аналитическом представлении объектов в пространстве. Поэтому в обширной базе данных справочной системы по этому пакету вы встретите очень много рисунков.
  • Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves Пакет для работы с алгебраическими кривыми прекрасно дополняет возможности геометрических пакетов. При обращении к нему он дает доступ к полутора десяткам функций
  • Примеры применения пакета algcurves
  • Построение алгебраических кривых класса knot Функция plot_knot позволяет строить одну или несколько алгебраических кривых — узлов.
  • Новая функция Maple 7 plot_real_curve В пакет расширения algcurves добавлена новая функция импликативной графики plot_real_curve. Она строит алгебраическую кривую для действительной части полиномиального выражения и записывается в виде
  • Пакет функций теории графов networks Графы широко используются при решении многих прикладных и фундаментальных задач. Пользователей, занятых решением таких задач, наверняка порадует пакет networks, содержащий весьма представительный набор функций
  • Примеры применения пакета networks Рассмотрим некоторые избранные функции этого пакета, которые наиболее часто используются при работе с графами. Детали синтаксиса функций можно найти в справочной базе данных Maple 7.
  • Получение информации о графе Еще один пример, приведенный ниже, иллюстрирует работу функции show, выдающей таблицу с полной информацией о графе, созданном функцией complete:
  • Пакет статистических расчетов stats Мир математических систем сейчас насыщен статистическими системами, например такими, как Statistica или StatGraphics. Они прекрасно приспособлены для решения задач статистической обработки обширных массивов данных.
  • Генерация случайных чисел с заданным распределением Возможно задание дискретных и непрерьвных распределений, например binomiald --дискретное биномиальное распределение, discreteumform — дискретное 'равномерное распределение, empirical — дискретное эмпирическое распределение, poisson — дискретное распределение Пуассона, beta — бета-распределение, cauchi — .распределение Коши, exponential — экспоненциальное и др.
  • Графика статистического пакета stats Вид графика задается описанием function: boxplot, histogram, notehedbox, quantile, quantile2, scatterld, scatter2d и symmetry. Данные функции обеспечивают построение типовых графиков, иллюстрирующих статистические расчеты.
  • Регрессионный анализ Под регрессионным анализом (или просто регрессией) обычно подразумевают нахождение некоторой формальной аналитической зависимости, которая приближенно (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) аппроксимирует исходную зависимость.
  • Пакет для студентов student Пакет student — это, несомненно, один из пакетов, наиболее привлекательных для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, которые студенты университетов и иных вузов обычно используют на практических занятиях, при подготовке курсовых и дипломных проектов.
  • Функции интегрирования пакета student. В пакетах Maple 7 можно найти множество специальных функций для вычисления интегралов различного типа. Например, в пакете student имеются следующие функции
  • Иллюстративная графика пакета student В этих функциях прямоугольники строятся соответственно слева, справа и по середине относительно узловых точек функции f(x), график которой также строится
  • Пакет работы с тензорами tensor Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов
  • Пакет Domains. Этот небольшой пакет служит для создания доменов — таблиц операций для вычислений. При его загрузке появляется сообщение о переопределениях объектов и список из всего лишь шести функций:
  • Обзор пакетов узкого назначения Учитывая это, мы вынуждены отказаться от попытки описать ряд пакетов специального назначения. Такими пакетами интересуются серьезные специалисты в области математики и им (не без труда, разумеется) под силу разобраться с назначением функций таких пакетов и примерами их применения, приведенными в справочной системе Maple
  • Пакет функций теории чисел numtheory В новой реализации Maple 7 число функций было уменьшено. Большинство функций этого пакета достаточно просты и заинтересовавшийся читатель вполне в состоянии провести их тестирование самостоятельно.
  • Пакет для работы с р-адическими числами padic В Maple 7 число функций этого пакета увеличено почти в четыре раза. Однако ввиду специфичности данных функций их изучение мы оставляем за читателем для самостоятельной работы.
  • Пакет для работы с гауссовыми целыми числами Gausslnt Гауссово целое число — это число вида а + I*b, где а и b — любые целые рациональные числа. Таким образом, они образуют решетку всех точек с целыми координатами на плоскости комплексных чисел.
  • Пакет алгебры линейных операторов Ore_algebra Пакет Ore_algebra содержит набор функций алгебры линейных операторов, состав которого виден после обращения к пакету
  • Инструментальный пакет для линейных рекуррентных уравнений LREtools Этот пакет полезен математикам, часто использующим рекуррентные отношения и формулы. Он дополняет функцию rsolve основной библиотеки и содержит следующие функции
  • Пакет функций дифференциальных форм difforms
  • Пакет для работы с рациональными производящими функциями genfunc Эти функции представляют специальный интерес для пользователей, работающих в области теории чисел и рациональных функций.
  • Пакет операций для работы с конечными группами group Функции этого пакета представляют интерес для математиков, работающих в области конечных групп. Но вряд ли они будут полезны большинству пользователей. Тем не менее, наличие таких функций говорит о полноте функциональных возможностей системы Maple
  • Пакет для работы с симметрией Ли liesymm В этом пакете, являющемся реализацией алгоритма Харрисона-Эстабрука
  • Пакет команд для решения уравнений SolveTools Пакет команд с весьма многообещающим названием SolveTools на самом деле содержит вовсе не средства для решения уравнений, а несколько весьма специфических функций
  • Пакет для работы с таблицами Spread. Функции пакета не имеют самостоятельного значения и призвана поддерживать работу с электронными таблицами, которая уже была подробно описана.
  • Пакет генерации кодов codegen Пакет codegen представляет собой набор команд, предназначенных для организации взаимодействия системы Maple 7 с другими программными средствами
  • Пакет создания контекстных меню context Этот пакет используется довольно редко и в основном пользователями, решающими в среде Maple не вычислительные, а системные задачи
  • Пакет организации многопроцессорной работы process Этот узкоспециализированный пакет содержит ряд функций по организации работы на нескольких процессорах
  • Пакет поддержки вычислений с размерными величинами Units При выполнении большинства вычислений рекомендуется использовать безразмерные величины. Однако в некоторых областях науки и техники, например в физике, широко используются размерные величины, у которых помимо их значения указываются единицы измерения.
  • Пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries. Новый пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries имеет довольно представительный набор функций
  • Пакет поддержки стандарта MathML Для представления математической информации на страницах Интернета в последние годы был создан специальный язык MathML.
  • Пакет XMLTools В Maple 7 резко расширены средства интеграции с Интернетом. Это сделано не только на уровне специфических для математических приложений средств, таких как рассмотренный выше пакет MathML, но и на уровне обычных языков сети, таких как HTML и XML.
  • Пакет создания внешних программ ExternatCaUing служит для создания внешних программ, записанных на языке Maple (или C++). Состав пакета представлен небольшим числом функций
  • Пакет линейных операторов LinearOperators новый пакет, содержащий средства для работы с линейными операторами.
  • Пакет для работы со случайными объектами RandomTools Пакет для работы со случайными объектами RandomTools служит для расширения базовых возможностей системы Maple 7 (для большинства пользователей и так вполне достаточных) в части генерации различных случайных объектов, таких как числа различных форматов, векторов, матриц, строковых символов, таблиц и т. д.
  • Пакет для работы со списками ListTools содержит ряд полезных команд для работы со списками.
Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика