Примеры решения задач типового расчета

 

Изменить порядок интегрирования

Повторный интеграл

Изменить порядок интегрирования

Решение:

первый интеграл – есть двойной интеграл от функции f по некоторой области D1 . Согласно (1) область D1 записывается в виде . Второй интеграл – есть двойной интеграл от функции f по области D2, которая согласно (1) записывается в виде . В прямоугольной системе координат построим области ( рис. 1).

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

Так как повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (1), то двойной интеграл справа, должен быть записан в виде повторного, по формуле (2). Для этого область D запишем в виде . Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку кривая   ограничивает область D слева и уравнение этой линии у=х, то . Кривая  ограничивает область D справа, и уравнение этой кривой . Выразив х, через у, получим  ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна правая часть окружности), т.е.  . Следовательно,  . Применяя формулу (2), получим:

Вычислить интегралы

 

Изменить порядок интегрирования.

Вычислить.  

Вычислить  

Вычислить:  

вычислить:

Вычислить.  ; x=0; y=0; z=0;

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

 

Найти площадь фигуры, ограниченной данными

линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ;

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями:

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Комбинаторика

Число размещений (без повторений) из n элементов по к

Число сочетаний из n элементов по к

Размещения с повторениями

Размещения данного состава

Бином Ньютона

Примеры решения задач

Метод математической индукции

Теорема

Формула Тейлора

Примеры решения задач

Примеры решения задач

Вычислить с точностью 0,001: а) cos ; б) .

Квадратичные формы и их применение

Теория

Примеры

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду

Построить в прямоугольной системе координат фигуру

Механический метод

Параллельный перенос

Пример. График функции  получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции  - из графика растяжением в 2 раза

Пример. График функции y=2sinx получаем из графика функции y=sinx растяжением от оси ОХ в 2 раза(рис.7а), а график функции y=0,5sinx – сжатием к оси ОХ в 2 раза

Пример. График функции  ( рис.9б ) получаем с помощью графика функции (рис.9а). Верхняя часть графика сохраняется, а нижняя – отображается симметрично оси ОХ.

  Пример 3.1. Построить график функции . Решение. Эта функция вида , то есть четная функция и, следовательно, график ее симметричен относительно оси OY.

Пример 3.2. Построить график функции .

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций

Пример 3.3. Построить график функции .

Пример 3.4. Построить график функции .

 

Пример 3.5. Построить график дробно-линейной функции .

 

Пример 3.6. Построить график функции .

 

Вычисление пределов функций

С помощью правила Лопиталя

Пример

Другие неопределенности

Пример Найти пределы

  Найти предел .

Пример Найти пределы:а) б)

 

Матрицы

Определители матриц

Свойства определителей

Методы вычисления определителей

Примеры

Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель

Обратная матрица

Примеры

Решить матричное уравнение

Базисный минор, ранг матрицы

Примеры

Вычислить методом окаймления ранг матрицы

Непрерывность. Точки разрыва

Об асимптотах графика функции

Доказать, что функция  непрерывна в точке х0=3.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

д) .

е) .

Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:

,

.

.

Указать значения параметров a и b, при которых функция непрерывна

Найти точки разрыва, уравнения асимптот функции   и построить ее график.

Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

Формула Тейлора

Разложить по формуле Тейлора функции

Представить в виде многочлена Тейлора функции

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Вычислить пределы

Найти главные члены для функций  и  и найти предел .

Вычислить предел функции .

Найти предел функции .