Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами.

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s). Курс лекций по математике Использование метода Фурье Решение дифференциальных уравнений

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.

 

  В распространении методов матматического анализа среди математиков Европы главную роль сыграл не Ньютон, а его единомышленники: голландец Христиан Гюйгенс (он стал первым президентом Парижской Академии Наук) и немец Готфрид Лейбниц (он возглавил Академию наук в Берлине и составил проект Российской академии наук). Оба они уступали Ньютону в "пробивной силе" при решении труднейших задач; но они не уступали Ньютону в научной фантазии и превосходили его в мастерстве учителя и просветителя.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика