Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов Интегрирование по прямоугольнику.

Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует =J(x), то существует и  и выполнено равенство

==. Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Доказательство. Для заданных разбиений Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение D ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]´ [yj, yj+1], введем обозначения mij=, Mij=, X={(xi, hj)}, xiÎ[xi, xi+1], hjÎ[yj, yj+1], Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства

mij £ f(x,y) £ Mij для (x,y)ÎDij (1) Ряды Тейлора и Лорана Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора. Интегральная формула Коши. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное

mij Dyj £  £ Mij Dyj (2)

 £  £  (3)

Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим

mij Dxi Dyj £ Dxi £ Mij Dxi Dyj .

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.

Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), то существует и  и выполнено равенство

==.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), "x существует =J(x), то существуют,  и выполнено равенство

==.

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика