Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами.

Тензоры

Определения и примеры

Пусть Х – евклидова пространство размерности n . Тензором А типа (p,q) ( p – раз ковариантным, q – раз контравариантным ) называется некоторый объект, характеризующийся набором чисел

  (компоненты или координаты тензора),

которые при переходе от базиса e1, e2,…, en, к новому базису   преобразуются по закону

,

Где = и = (формулы (3) из первого параграфа). Дифференциальное исчесление функции одной переменной Понятие производной, ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Примеры.

Скаляр (числовая константа) формально можно считать тензором типа (0,0).

Контравариантный вектор (элемент исходного пространства Х) является тензором типа (0,1). Это следует из формул преобразования координат. Если x = ek x k = , то согласно формулам (4) .

Ковариантный вектор (функционал из Х*) является тензором типа (1,0). Это следует из формул преобразования координат. Если f = hk f k = , то .

Билинейная форма В(x,y) в пространстве контравариантных векторов (Х,Х) является тензором типа (2,0). Действительно, пусть x = ek x k , y = ek y k , =. Координаты или коэффициенты билинейной формы равны

, ===.

Билинейная форма В(f,g) в пространстве ковариантных векторов (Х*,Х*) является тензором типа (0,2). Действительно, пусть f = hk f k , g = zk g k , . Координаты или коэффициенты билинейной формы равны

, ===.

Билинейная форма В(x,f) в пространстве векторов (Х,Х*) является тензором типа (1,1). Действительно, пусть x = ek x k , f = hk f k , =,. Координаты или коэффициенты билинейной формы равны

, ===.

  В распространении методов матматического анализа среди математиков Европы главную роль сыграл не Ньютон, а его единомышленники: голландец Христиан Гюйгенс (он стал первым президентом Парижской Академии Наук) и немец Готфрид Лейбниц (он возглавил Академию наук в Берлине и составил проект Российской академии наук). Оба они уступали Ньютону в "пробивной силе" при решении труднейших задач; но они не уступали Ньютону в научной фантазии и превосходили его в мастерстве учителя и просветителя.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика