Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами.

Элементы тензорного исчисления

Линейные функционалы. Сопряженное пространство

Определение линейного функционала

Пусть Х – линейное пространство, т. е. множество элементов, среди которых определены две операции: операция сложения x+y для любых двух элементов и операция умножения любого элемента из Х на вещественное или комплексное число ax , удовлетворяющие аксиомам линейного пространства.

Линейный функционал определяется, как отображение из Х в R: y = f(x) , удовлетворяющее свойству f(ax+by)=af(x)+bf(y).

Функционалы можно складывать и умножать на числа. Так, если даны два функционала f1 (x), f2 (x), то сумма определяется по формуле

f (x) = f1 (x)+ f2 (x).

Аналогично определятся функционал

f (x) =a f1 (x).

Можно проверить, что множество всех линейных функционалов над линейным пространством Х с этими операциями сложения функционалов и умножения функционала на число является линейным пространством. Для этого нужно убедиться, что указанные выше операции удовлетворяют следующим свойствам:

для любых функционалов g и f справедливо равенство

f + g = g + f

для любых функционалов f , g , h справедливо равенство

( f + g ) + h = f + ( g + h )

для любых чисел a , b и любого функционала f справедливы равенства

(ab) f=a (b f) , (a+b) f = a f +b f

для любых функционалов f , g и любого числа a имеет место равенство

a ( f + g ) = a f + a g

существует нулевой функционал 0 такой, что для любого функционала f справедливо равенство

0 + f = f

для любого функционала f существует противоположный функционал, обозначаемый –f и удовлетворяющий свойству

f + (–f ) = 0

для любого функционала f выполнено:

1 f = f

 

  В распространении методов матматического анализа среди математиков Европы главную роль сыграл не Ньютон, а его единомышленники: голландец Христиан Гюйгенс (он стал первым президентом Парижской Академии Наук) и немец Готфрид Лейбниц (он возглавил Академию наук в Берлине и составил проект Российской академии наук). Оба они уступали Ньютону в "пробивной силе" при решении труднейших задач; но они не уступали Ньютону в научной фантазии и превосходили его в мастерстве учителя и просветителя.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика