Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами.

  Интегралы, зависящие от параметра

Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену  , dx = .

В(p,q) = =.

В(p,q) =   (2)

Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2)

Г В(p,q) = Г  Г .

В(p,1-p) = Г  Г ==.

 

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл  сходится равномерно на любом [e , A ], 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .

В окрестности нуля |ln x| £ для e > 0 существует C1(e).

В окрестности бесконечности |ln x| £ для e > 0 существует C2(e).

Интеграл Г(k)(p)=  сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок £+ , pÎ[e , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:

В окрестности нуля интеграл  сходится при 0<a<1, действительно т. к. xb-alnkx = .

В окрестности бесконечности  сходится, действительно

xA-1|ln k x| £ C xA т. к.   и кроме того .

  В распространении методов матматического анализа среди математиков Европы главную роль сыграл не Ньютон, а его единомышленники: голландец Христиан Гюйгенс (он стал первым президентом Парижской Академии Наук) и немец Готфрид Лейбниц (он возглавил Академию наук в Берлине и составил проект Российской академии наук). Оба они уступали Ньютону в "пробивной силе" при решении труднейших задач; но они не уступали Ньютону в научной фантазии и превосходили его в мастерстве учителя и просветителя.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика