Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.

Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :

 = c mD.

Доказательство (для случая mD¹0).

m mD =dxdy £  £ dxdy = M mD. Откуда

 и c=.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

  dxdy = f(x)mD.

Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и

  dxdy =  dxdy +  dxdy .

Доказательство. Пусть D¢ - разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D¢) . В этом случае S(f,D¢) –s(f,D¢) £ S(f,D)-s(f,D) , откуда следует интегрируемость на D1. Аналогично доказывается интегрируемость на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, D¢ m,X m), s( f,D¢¢ m, X m) для D1 и D2 и их объединение Dm = D¢ m +D¢¢ m. Для таких сумм получим

s( f,Dm, X m) = s( f, D¢ m, X m) + s( f,D¢¢ m, X m).

Переходя к пределу в последнем равенстве получим требуемое соотношение.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского)

Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство

.

Доказательство.

0£=+2+l2.

Так как это справедливо для любых l, то -£ 0, откуда и следует требуемое неравенство.

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика