Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Если Эвклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем, главным образом, по великому труду Аполлония. Однако из восьми книг этого труда сохранилось лишь семь, из них первые четыре — по-гречески, остальные три — в арабском переводе.

  Интегралы, зависящие от параметра

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

 

Теорема Пусть и f(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yÎY. Если для любых h функция f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b-h] при y®y0 , интеграл  равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

.

Доказательство.

=.

  можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости функции f(x,y) к g(x). Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости интеграла . Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла .

Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы

"e >0$d>0" y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b): .

Достаточность. При выполнении условия  для " y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b) можно перейти к пределу при h¢¢ ® b . Тогда для " y Î Y"h¢Î(b-d,b) : , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость.  Имеем "e >0$d>0" y Î Y"hÎ(b-d,b): . Тогда при h¢,h¢¢Î(b-d,b) будет выполнено .

  Ньютон работал всю жизнь, создавая все новые разделы математики или физики для решения новых сложных проблем. Мы называем Ньютона гением за безупречный вкус и удачливость в этой работе. Каждая построенная им теория (будь то механика, оптика или вариационное исчисление) решала не только исходную задачу, но и множество других задач, о которых прежде никто не задумывался.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика