Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Если Эвклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем, главным образом, по великому труду Аполлония. Однако из восьми книг этого труда сохранилось лишь семь, из них первые четыре — по-гречески, остальные три — в арабском переводе.

  Интегралы, зависящие от параметра

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и  непрерывны в [a,b]´ [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

==, 0<q <1. Тогда

£.

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции  следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [a,b]´ [c,d], содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на [a,b]´ [c,d], x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) =  также имеет производную

+-.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y,u,v) = . Для нее существуют непрерывные частные производные (не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство. Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции  .

 

  Ньютон работал всю жизнь, создавая все новые разделы математики или физики для решения новых сложных проблем. Мы называем Ньютона гением за безупречный вкус и удачливость в этой работе. Каждая построенная им теория (будь то механика, оптика или вариационное исчисление) решала не только исходную задачу, но и множество других задач, о которых прежде никто не задумывался.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика