Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Платон (429—348), великий философ, ученик Сократа, является основателем школы, получившей название Академии по имени того места в Афинах, где ученики собирались вокруг своего учителя.

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Введение.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системой координат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображением

  или

Обозначим

ri = .

Выражениеградиента в криволинейных координатах

Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен

grad u = . По формуле дифференцирования сложной функции

  =(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббса

grad u = (grad u , ri ) ri =ui ri .

Откуда

grad u = ui ri = ui  = ui .

Выражение дивергенции в криволинейных координатах

Отметим, что для взаимно обратных отображений

 и  согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения  или в матричном виде

== .

Таким образом, вектора  являются сопряженными к

ri = , т. е. rj =, ei =  .

Обозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi == , тогда

div V = =++=

= +

+ +

+  = (V1,r1)+(V2,r2)+(V3,r3) = (Vk,rk) =

=.

В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak . В этом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в формулу для данной операции, например, в формулу div V =. Можно показать, что div V = .

 

 

  Ньютон решил задачу о брахистохроне - пути наибыстрейшего спуска тяжелой точки, скользящей по гладкой кривой. Оказалось, что такой кривой является циклоида. Доказательство этого факта потребовало работы с гладкими функциями, зависящими от бесконечного множества числовых переменных. Ньютон справился с этой задачей с помощью ряда смелых гипотез, которые позднее составили особый раздел математического анализа - вариационное исчисление.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика