Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Платон (429—348), великий философ, ученик Сократа, является основателем школы, получившей название Академии по имени того места в Афинах, где ученики собирались вокруг своего учителя.

 Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразование координат

Даны базисы ei ,  и ei , i . Обозначим матрицы связывающие эти базисы ,,,.

i = ej  , ei = j  Þ =  (5)

Равенство =  в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

j = ei , ej = Þ =  (6)

Последнее равенство в матричном виде:

=.

Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами

(i , ek) = , (ej , k ) = Þ (i , ek ) = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

i = ej  , ei = j  (7)

j = ei , ej = i (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,

=

(7)

=,

=

(8)

 

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = i  i = ei x i или x==. Подставляя во второе равенство ei из (7) получим

x = j  x i , откуда j j = j xi и j = xi.

Аналогично из равенств  , ek = I получаем   откуда . Таким образом,

=, =.

Полученные формулы j = xi ,  позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса.

 

  Ньютон решил задачу о брахистохроне - пути наибыстрейшего спуска тяжелой точки, скользящей по гладкой кривой. Оказалось, что такой кривой является циклоида. Доказательство этого факта потребовало работы с гладкими функциями, зависящими от бесконечного множества числовых переменных. Ньютон справился с этой задачей с помощью ряда смелых гипотез, которые позднее составили особый раздел математического анализа - вариационное исчисление.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика