Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Платон (429—348), великий философ, ученик Сократа, является основателем школы, получившей название Академии по имени того места в Афинах, где ученики собирались вокруг своего учителя.

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 2-го порядка

rot grad u = [* , *u]= 0

div rot V = (*,[*,V]) = 0

Du = div grad u = (*,*u) = . Оператор Лапласа.

Функция u называется гармонической в некоторой области, если Du =0 в этой области.

grad div V

rot rot V

Пример 5. (4447) Найти поток вектора гравитационного поля тяготения точечной массы, расположенной в начале координат V=mr через замкнутую поверхность Ф , не проходящую через начало координат в направлении внешней нормали.

В примере 4 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат. В случае, когда гравитационная масса находится внутри области D, ограниченной поверхностью Ф рассмотрим сферу S с центром в начале координат целиком лежащую в области D и ориентированной внутренней нормалью. Тогда поток V через границу области с границей Ф + S ( область  D с шаровой полостью ) будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен =--=m = m=m=4p m .

Пример 6. (4449) Доказать, что =dxdydz .

=(grad u , n) , откуда из равенства Du = div grad u и формулы Остроградского Гаусса следует требуемое равенство.

Пример 7. Количества тепла, протекающее в поле температуры u за единицу времени через поверхность Ф в направлении ее нормали ( поток градиента температуры ) равен Q=, k – коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле Остроградского Гаусса =-k. Эта величина имеет смысл количества тепла, накопленного телом за единицу времени.

 

  Ньютон решил задачу о брахистохроне - пути наибыстрейшего спуска тяжелой точки, скользящей по гладкой кривой. Оказалось, что такой кривой является циклоида. Доказательство этого факта потребовало работы с гладкими функциями, зависящими от бесконечного множества числовых переменных. Ньютон справился с этой задачей с помощью ряда смелых гипотез, которые позднее составили особый раздел математического анализа - вариационное исчисление.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика