Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Классы интегрируемых функций

1.Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на компакте D функция интегрируема на D.

  Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={Dk}

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk .

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда

S(f,D) - s(f,D) =<=e .

Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.

Без доказательства.

Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция F(M)= интегрируема на D и

=.

Доказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы D c площадью m(U) < e0 , DÌ U . Можно показать, что существует e раздутие границы D , лежащее внутри U. e раздутие границы D , представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы обозначим через Ue . Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что

S(f,DD)-s(f,DD) < e0 при l(DD)<d, (1)

 где DD – разбиение области D. Пусть разбиение DP области P выбрано с характеристикой l(DP)< min(d,e) . Разобьем для разность сумм Дарбу на три суммы

S(f,DP)-s(f,DP)= =å¢ +墢 +墢¢.

В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых Pk содержаться в D, за исключением попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ остаются все остальные слагаемые. Отметим, что в эту сумму попадают слагаемые, равные нулю. Условие l(DP)<e позволяет сделать заключение, что таким образом будут собраны все слагаемые. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.

墢 < e0 в силу (1).

墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование f=0.

å¢ < 2M墢¢mPk <2Mm(U) < 2M e0.

Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости.

Для доказательства равенства = следует выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для f и P так, чтобы sm(F)= sm(f) . Для этого нужно выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области и подходящим образом подобрать промежуточные точки. А именно, для слагаемых, не попавших в sm(f) промежуточную точку следует выбрать исходя из условия f()=0. В этом случае интегральная сумма по множеству P будет совпадать с интегральной суммой по множеству D.

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика