Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Центральной фигурой в истории развития греческой математики является Эвклид, живший около 300 г. до начала н. э.
Его „Начала" представляют трактат по геометрии, которым все еще пользуются во многих странах для дидактических целей и который заключает в себе систему элементарной геометрии, основные принципы коей в разных формах положены повсюду в основу преподавания

Элементы теории поля

Формула Остроградского Гаусса

Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div V = 0.

Необходимость. Если V = rot W, то непосредственной проверкой можно убедиться, что div V = 0 (div rot W = 0).

Достаточность. Будем искать частное решение уравнения V = rot W.

(P,Q,R)= или .

Решение будем искать среди полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система упростится и примет вид


.

Первое и второе уравнения интегрируем по z

b = - , a = - .

Еще раз сузим множество поиска, полагая y = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и по y, получим

, .

Откуда получим

R = -===R(x,y,z)- R(x,y,z0)+ .

Таким образом, = R(x,y,z0), откуда j =+D(y). Частное решение найдено в виде a = - , b = - ++D(y), с = 0. Где D – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.

Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W1 = W + grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u.

Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен.

Действительно, по формуле Остроградского Гаусса (V,dS)= 0 , кроме того (V,dS)= 0. Откуда (V,dS)+  (V,dS) = 0 или (V,dS)= (V,dS).

  Научную биографию Ньютона можно разделить на три неравные части. В 1665-67 годах он вдохновенно трудился, угадывая основные законы природы и математики. Следующие 20 лет Ньютон посвятил строгому доказательству открытых им законов, расчету важнейших примеров (включая движение Луны и планет) и написанию своей главной книги: "Математические принципы философии природы". В последние 40 лет жизни Ньютон мало занимался наукой: он лишь публиковал ранее подготовленные им книги, временами отвлекаясь на решение особенно трудной и красивой задачи с помощью математического анализа.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика