Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Центральной фигурой в истории развития греческой математики является Эвклид, живший около 300 г. до начала н. э.
Его „Начала" представляют трактат по геометрии, которым все еще пользуются во многих странах для дидактических целей и который заключает в себе систему элементарной геометрии, основные принципы коей в разных формах положены повсюду в основу преподавания

Формула Остроградского Гаусса

Определение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

  Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой области и имеющую там непрерывную производную  . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим W .

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

= .

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):zÎ[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)ÎD},

где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

  = ==

+=.

Делая циклические перестановки переменных x®z®y, y®x®z, z®y®x

  можно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.

= ,=  .

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

= .

Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V = .

 Тогда, используя векторные обозначения формулу Остроградского Гаусса можно записать в виде

div V dW = (V,dS).

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

 

  Научную биографию Ньютона можно разделить на три неравные части. В 1665-67 годах он вдохновенно трудился, угадывая основные законы природы и математики. Следующие 20 лет Ньютон посвятил строгому доказательству открытых им законов, расчету важнейших примеров (включая движение Луны и планет) и написанию своей главной книги: "Математические принципы философии природы". В последние 40 лет жизни Ньютон мало занимался наукой: он лишь публиковал ранее подготовленные им книги, временами отвлекаясь на решение особенно трудной и красивой задачи с помощью математического анализа.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика