Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Так как при рассмотрении греческой математики нам придется часто иметь дело на протяжении долгих периодов с разными проблемами частного порядка, то небесполезно будет с самого начала дать краткий общий исторический обзор, изложив в нем, с одной стороны, в какой хронологической последовательности происходила эволюция нашей науки и какие математики над этим работали, а с другой, — условия деятельности этих математиков.

Формула Стокса

Поверхность, заданная уравнением z = j(x, y)

 Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф: z = z(x, y), (x, y)ÎD. Будем предполагать, что поверхность Ф однозначно проектируется на плоскость y=0. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией. Пусть f(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные , . Тогда имеет место равенство

.

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности

Отметим, что =. Пусть g имеет параметризацию

g : tÎ[a, b]  тогда G :  tÎ[a, b]. Операции математического анализа

По формуле Грина

= -  = = == =. Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

cos b = , cos g = , откуда q cos g = - cos b .

  Но на рубеже 17-18 веков никто не догадался, что именно законы сохранения составляют следующий по глубине слой природных закономерностей. Их понимание потребовало новой революции в математике: изучения природных симметрий с помощью теории групп. Ее создание и применение заняло весь 19 век и большую часть 20 века. Предугадать такое развитие математики Ньютон не мог - хотя в его книгах содержатся проекты изучения симметрий природных тел, их связей с силами взаимодействия между телами.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика