Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) ® 0 при l(D)®0.

Т. е.

$  Û  "e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть интегрируема и J=. Возьмем какое-либо e>0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D,X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD ).

так как s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X), то

 |S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3

тогда

 |S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ 2e /3<e .

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ *£ £ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как  (S(f,D) - s(f,D)) = 0 , то *= . Положим J = *= , при этом |s(f,D,x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и следует требуемое утверждение.

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика