Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Так как при рассмотрении греческой математики нам придется часто иметь дело на протяжении долгих периодов с разными проблемами частного порядка, то небесполезно будет с самого начала дать краткий общий исторический обзор, изложив в нем, с одной стороны, в какой хронологической последовательности происходила эволюция нашей науки и какие математики над этим работали, а с другой, — условия деятельности этих математиков.

Поверхностные интегралы 2-го рода

Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Определение спина.

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D. Для заданного разбиения {Фk } этой поверхности и набора промежуточных точек {Мk } обозначим nk единичную нормаль в точке Мk к поверхности Ф. Через Dk обозначим проекцию Фk на плоскость x y. Для функции f , определенной на Ф рассмотрим интегральные суммы вида

s = sign cos(k, nk).

Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм s при стремлении к нулю характеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек. Обозначается интеграл

=.

Замечание. Если Ф- та же поверхность с противоположной ориентацией, то

= -.

Аналогично определяются интегралы dydz , dzdx , в случае, если поверхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. Интегральные суммы будут иметь вид sign cos(i, nk), sign cos(j, nk).

Рассмотрим векторное поле V=(P,Q,R) определенное на поверхности Ф, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. В этом случае можно рассмотреть интеграл

P dydz +Q dzdx+R dxdy =P dydz +Q dzdx+ R dxdy .

  Но на рубеже 17-18 веков никто не догадался, что именно законы сохранения составляют следующий по глубине слой природных закономерностей. Их понимание потребовало новой революции в математике: изучения природных симметрий с помощью теории групп. Ее создание и применение заняло весь 19 век и большую часть 20 века. Предугадать такое развитие математики Ньютон не мог - хотя в его книгах содержатся проекты изучения симметрий природных тел, их связей с силами взаимодействия между телами.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика