Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Христиан Гюйгенс (1629-1695) был на полтора десятка лет старше Ньютона и Лейбница. Поэтому он не смог соперничать с молодыми коллегами, когда они начали изобретать математический анализ. Однако у Гюйгенса было замечательное чутье в области математической физики: им восхищался даже Ньютон, который никого другого не считал равным себе талантом. Поэтому в математической оптике Гюйгенс сумел превзойти и Ферма, и Ньютона.

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода.

Для интеграла второго рода будем использовать эквивалентное определение, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk .

Поэтому

=

Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу

, где a=a(x,y,z)  - угол, который образует касательный вектор к кривой G в точке (x,y,z) с осью x, . Отсюда следует, что

=.

Докажем, что интегральные суммы сходятся к интегралу . Действительно,

==+.

Первая сумма является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функции f ).

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям dy, dz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

=, (4)

,,.

Обозначим орт вектора касательной  и введем понятие вектора элемента длины дуги . В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом

=.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для плоской замкнутой кривой положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

  Между тем современники Ньютона постепенно открывали новые законы механики: законы сохранения различных числовых характеристик природных тел в наблюдаемых нами процессах. Так, Валлис открыл закон сохранения импульса, а Лейбниц - закон сохранения кинетической энергии. Гюйгенс вывел дифференциальное уравнение колебаний маятника: в них кинетическая энергия переходит в потенциальную, и обратно.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика