Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Суммы Дарбу и их свойства Определения.

Пусть функция f(x,y) определена на D и D={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =.

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)=, Mk =.

Свойства сумм Дарбу.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек XÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D, X) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения D, то

s(f,D1)  £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достато￿но￿доказат￿ для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества D¢k первого разбиения D1 на два квадрируемых множества D¢¢k, D¢¢k+1. Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения

, , . Нижняя грань по всему множеству D¢k будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать

s(f,D1)=m¢k mD¢k +...,

s(f,D2) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 +...

  В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми они отличаются. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 - m¢k mD¢k = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 -

- m¢k (mD¢¢k +mD¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) mD¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) mD¢¢k+1 ³ 0.

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1)  £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1)  £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

 

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика