Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле
Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение
,
(x, h,
z )Î
D
из D в V, где области D и V кубируемы. Тогда объема области V справедлива формула
m
V = 
(4).
Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что
=m V = 
=
m D.
Откуда следует, что в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )
=
.
Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то
=
.
Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Выберем какое-либо разбиение {Dj} области D и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)
m Vj = 
=
m Dj.
Полученные таким образом точки Mj = (xj , hj , zj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм для разбиения {Dj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм для разбиения {Vj}. В этом случае
.
Из этого равенства следует требуемое утверждение.