Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Подобно Гюйгенсу и в отличие от Ньютона, Лейбниц был очень разносторонним ученым. Кроме "непрерывной" математики функций и производных, он очень интересовался "дискретной" математикой. Начав с изобретения удачного арифмометра, Лейбниц вскоре заметил особое удобство двоичной системы счисления для математических машин. Он также развил математическую логику, перейдя от словесных рассуждений (силлогизмов) Аристотеля к алгебраическому исчислению логических высказываний.

Кратные интегралы

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение

, (x, h, z )Î D

из D в V, где области D и V кубируемы. Тогда объема области V справедлива формула

m V =  (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

=m V = =m D.

Откуда следует, что в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )

=.

Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Выберем какое-либо разбиение {Dj} области D и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

m Vj = =m Dj.

Полученные таким образом точки Mj = (xj , hj , zj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм для разбиения {Dj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм для разбиения {Vj}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

  Так новая математика Ньютона свела экспериментально обнаруженные законы движения планет и комет к более глубоким законам, которые регулируют силовое взаимодействие любых природных тел. Можно ли свести законы природных сил к еще более глубоким природным закономерностям?

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика