Замена переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим отображение
и
его обратное 
,
непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D. Пусть функция f интегрируема в D, тогда
= 
.
Доказательство. Оба интеграла, слева и справа, существуют. Выберем некоторое разбиение области D на подобласти Di и соответствующее ему разбиение области D на множества Di . Тогда
mDi
= 
=
=
.
Для этих точек (xj,hj ) , (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы
.
При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам
, ,
соответственно.