Двойной интеграл Интегрирование по прямоугольнику Замена переменных Цилиндрические и сферические координаты Формула Грина Поверхностные интегралы Формула Стокса Формула Остроградского Гаусса Преобразование координат Выражение градиента
Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла.

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1)

Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие Mk=(xk,hk)ÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Для краткости можно использовать обозначение .

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X)-J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на D.

Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений Dm этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю l(Dm)®0 и некоторым набором промежуточных точек XmÎDm для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности sm=s(f,D m,X m) будет выполнено равенство

=.

Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве этой промежуточной точки члены последовательности {P j}.

Геометрический смысл двойного интеграла.

 Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком разбиении D этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции ( поверхность z=f(x,y), считаем, что f>0) плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл .

 

 

  Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика