Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вещественные числа
Формула Муавра
Понятие производной
Кратные и криволинейные интегралы
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
Предел последовательности
Предел сложной функции
Производная сложной функции
Многочлен Тейлора
Асимптоты функций
Использование правила Лопиталя
Два основных метода интегрирования
Интегрирование
Формула Ньютона-Лейбница
Примеры решения научно-технических задач
Интегрирование по частям
Предел функции
Определение двойного интеграла
Критерий интегрируемости
Интегрирование по прямоугольнику
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Сферические координаты
Формула Грина
Формула Стокса
Формула Остроградского Гаусса
Интеграл Пуассона
Тензоры
Изменить порядок интегрирования
Найти объем тела
Комбинаторика
Бином Ньютона
Метод математической индукции
Определители матриц
Обратная матрица
Базисный минор
Построить график функции
Информатика
Объектно-ориентированное программирование
Архитектура приложений баз данных
Программное обеспечение ПК
Примеры скриптов
Введение в систему команд Linux
Конфигурирование системы Linux
Периферийные устройства в Linux

 

Определение двойного интеграла Геометрический смысл двойного интеграла

Суммы Дарбу и их свойства Определения

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу

Классы интегрируемых функций

Свойства определенного интеграла

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по прямоугольнику.

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Вычисление площади поверхности

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты

Изменение площади при отображениях

Рассмотрим отображение

  и его обратное

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями x=const, h=const плоскости x, h (см. ch1_7_2.swf). Обозначим для краткости x=x(x,h), y=y(x,h), тогда

x(x +Dx ,h)= x +Dx + o(r),  y(x +Dx ,h)= y +Dx + o(r),

x(x ,h +Dh)= x +Dh + o(r),  y(x ,h +Dh)= y +Dh + o(r),

x(x +Dx , h +Dh)= x +Dx +Dh + o(r),

y(x +Dx , h +Dh)= y +Dx +Dh + o(r).

Для вычисления площади фигуры с вершинами

A(x,y),

B(x(x +Dx ,h), y(x +Dx ,h)),

C(x(x +Dx , h +Dh), y(x +Dx , h +Dh)),

E( x(x ,h +Dh), y(x ,h +Dh))

рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершин

A¢=A=(x,y),

B¢=( x +Dx, y +Dx),

C¢=( x +Dx +Dh, y +Dx +Dh),

E¢=( x +Dh, y +Dh) (см. ch1_7_3.swf ).

Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢C¢,

a=A¢B¢ = ( Dx,Dx), b=A¢C¢ = ( Dh, Dh). Поэтому его площадь равна

½[a,b]½==DxDh.

Вершины A,A¢, B,B¢, C,C¢, E,E¢ отличаются на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r2)

m(A¢,B¢,C¢,E¢)=DxDh+ o(r2).

Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равна

mD== (4).

Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a,b]´[a,b] (см. ch1_7_22.swf). Разобьем S на равные части линиями x=xi , h=hj .

В этом случае Dxi=xi+1 - xi = (b - a)/n , Dhj=hj+1 - hj = (b - a)/n , r==(b - a)/n, mD=.

Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥. откуда и следует равенство (4).

Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh - элементом площади в плоскости x, h. Равенство (4) позволяет говорить, что модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении

dxdy = dxdh.

Определение тройного и n-кратного интеграла

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида

Замена переменных в тройном интеграле

Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример Цилиндрические координаты

Пример 2. Сферические координаты

Замена переменных в общем случае

Криволинейные интегралы 1-го рода

Определение, существование

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

Криволинейные интегралы 2-го рода

Определение, существование

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Формула Грина

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования

Поверхностные интегралы 1-го рода

Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Существование и вычисление интеграла 1-го рода

Поверхность задана параметрически

Простейшие свойства интегралов первого рода

Поверхностные интегралы 2-го рода

Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Формула Стокса

Общий случай

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Формула Остроградского Гаусса

Пример

Введение

Поток векторного поля

Формула Остроградского Гаусса

Теорема

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 1-го порядка

примеры

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразования базисов и координат

Преобразование координат

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Выражение градиента в криволинейных координатах

Выражение ротора в криволинейных координатах

Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

Выражение градиента в цилиндрических координатах

Выражение ротора в цилиндрических координатах

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

Выражение градиента в сферических координатах

Выражение ротора в сферических координатах

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Теорема

Непрерывность интеграла от параметра

Некоторые свойства функций Эйлера

Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Интеграл Пуассона

Линейные функционалы. Сопряженное пространство

Примеры линейных функционалов

Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством

Формулы преобразования координат

Тензоры

Основные операции над тензорами

Операции симметрирования и альтернирования

Метрический тензор

Полилинейные формы и их связь с тензорами