Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Опираясь на достижения этих первопроходцев, Ньютон совершил в 1665-67 годах великий прорыв в новую математику. Эти два года он провел в одиночестве, скрываясь в деревне от эпидемии чумы и неустанно размышляя о том, как описать законы природы с помощью исчисления сил, действующих между природными телами и вызывающих движения этих тел. Понимание существа дела пришло к Ньютону на очень высоком уровне абстракции

Условный экстремум Необходимые условия.

Рассмотрим функцию

u = f(x1,x2,….,xn,xn+1,…,xn+m),  u = f(x) (1)

определенную в области DÌRn+m. Обозначим через D1 множество точек из D , удовлетворяющих n условиям

, Ф(x)=0. (2)

Условия (2) назовем уравнениями связи.

Определение. Точка x0 называется точкой условного максимума функции (1) при связях (2), если существует окрестность этой точки U(x0) такая, что

" x Î U(x0)ÇD1 : f(x) < f(x0). Понятие дифференциала функции Определение и геометрический смысл дифференциала

Аналогично определяется условный минимум и условный экстремум.

Введем обозначения p=(xn+1,xn+2,…,xn+m), q=(x1,x2,…,xn), x=(q,p)=(x1,x2,…,xn+m) и предположим, что ФÎ C1(D) и

, в области D.

В этом случае в каждой точке области D1 выполнены условия теоремы существования и единственности системы функций, заданных неявно системой уравнений (2) и эту систему можно разрешить относительно q, q=j(p) в окрестности точки p0=

 (3)

Таким образом, любая точка из D1 может быть записана в виде

(j1(p),j2(p),…,jn(p),p).

Тогда необходимым и достаточным условием для условного экстремума в точке x0 будет «безусловный» экстремумом функции

F(p) = f(j1(p),j2(p),…,jn(p),p) в точке p0.

В силу этого необходимыми условиями условного экстремума будет условия

 j=n+1,n+2,…,n+m.

В частности,

dF = df =  (4)

Продифференцируем тождества (3)

 (5)

Умножим каждое уравнение из (5) на lI сложим их (возьмем линейную комбинацию) и уравнение (4). В результате получим систему

 (6)

Выберем lI так, чтобы множители при зависимых dxj (j=1,2,…,n) обращались в 0

 , j=1,2,…,n. (7)

Тогда из (6) получим

. (8)

Так как dxj , j=n+1,…,n+m – дифференциалы независимых переменных, то из (8) следует, что

 , j=n+1,n+2,…,n+m. (9)

Таким образом, как это следует из (7), (9) это соотношение будет выполнено для всех j

 , j=1,2,…,n+m. (10)

Поводя итог, можно сказать, что точка условного экстремума x0 должна удовлетворять системам уравнений (2), (10)

,

 , j=1,2,…,n+m,

которые дают m+2n уравнений для определения m+2n неизвестных: n+m координат точки x0 и неопределенных множителей lj . Эти множители называются множителями Лагранжа. Доказанное утверждение сформулирует в виде теоремы

Теорема (необходимые условия для условного экстремума). Пусть функция

u = f(x1,…,xn+m)

определена в области DÌRn+m, x0 внутренняя точка D и заданы n непрерывно дифференцируемые связи

,

причем

¹0, в точке x0.

Тогда в точке x0 выполнены условия

, j=1,…,n+m. (11)

Замечание. При составления уравнений (11) для поиска точек «подозрительных» на условный экстремум удобно использовать функцию Лагранжа

L = f + ,

условия (11) тогда запишутся в виде

 (или dL=0).

  Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом были арифметические расчеты и измерения.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика